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BLOQUE 6
5. Ecuaciones lineales

6. Sistemas de ecuaciones lineales

6.1. Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales

6.2. Notación matricial

7. Método de Gauss

8. Inecuaciones lineales

8.1. Inecuaciones y sistemas de inecuaciones con una incógnita

8.2. Inecuaciones y sistemas de inecuaciones con dos incógnitas

8.3. Sistemas lineales de inecuaciones con dos incógnitas

NOTA: El examen consta de todos los temas trabajados en el 4to y 5to bloque adema de sistemas de ecuaciones lineales por el método de Cramer y sistemas de inecuaciones.

ver vídeo, sistema 3 x 3 método de Cramer

ver vídeo. sistema 3 x 3 por el método de Gauss

Inecuaciones y Sistemas de inecuaciones con una y dos incógnitas

Inecuaciones lineales

Si cambiamos el signo de igualdad (=) de una ecuación lineal por alguno de los signos de desigualdad (<, >, ≤ y ≥), obtenemos una expresión algebraica denominada inecuación lineal.

Inecuaciones lineales con una incógnita

Son aquellas en las que solamente aparece un polinomio de primer grado.

Llamamos inecuación de primer grado o lineal con una incógnita a cualquier inecuación equivalente a ax + b < 0, ax + b ≤ 0, ax + b > 0 o ax + b ≥ 0, donde a, b ∈ ℝ ≠ 0.

Para resolver este tipo de inecuaciones, procedemos como en el caso de las ecuaciones lineales, teniendo en cuenta que, al multiplicar o dividir por un numero negativo, debemos cambiar el sentido de la desigualdad para obtener una inecuación equivalente.

Inecuaciones y sistemas de inecuaciones con dos incógnitas

Considera la desigualdad algebraica x - y < 6. Se trata de una inecuación lineal con dos incógnitas.

Llamamos inecuación lineal con dos incógnitas a cualquier inecuación equivalente a

ax + by < c, ax + by ≤ c, ax + by > c o ax + by ≥ c, donde a, b, c ∈ ℝ.

Construimos la tabla asignando diversos valores a x e y. Fíjate en que la inecuación x - y < 6 solo se verifica para determinados pares de valores de x e y. Cada par de valores de x e y que satisface la inecuación es una solución de la inecuación.

ver ejemplos resueltos

BLOQUE 5

ÁLGEBRA LINEAL
Contenidos:

1. Matrices numéricas

1.1. Concepto y representación

1.3. Igualdad

1.4. Tipos de matrices

2. Operaciones con matrices:

2.1. Adición de matrices

2.2. Multiplicación de una matriz por un número real

3. Matriz identidad

4. Matriz inversa

4.1. Cálculo de la matriz inversa a partir de la definición

4.2. Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan

5. Ecuaciones lineales

6. Sistemas de ecuaciones lineales

6.1. Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales

6.2. Notación matricial

7. Método de Gauss

8. Inecuaciones lineales

8.1. Inecuaciones y sistemas de inecuaciones con una incógnita

8.2. Inecuaciones y sistemas de inecuaciones con dos incógnitas

8.3. Sistemas lineales de inecuaciones con dos incógnitas

9. Introducción a la programación lineal

9.1. Métodos de resolución

9.2. Tipos de soluciones

10. Aplicaciones de la programación lineal

10.1. Problema del transporte

10.2. Problema de la dieta

10.3. Otras aplicaciones

Matrices numéricas

Llamamos matriz de dimensiones m × n a un arreglo rectangular de números reales, dispuestos en m filas y n columnas.

Una matriz se representa por medio de una letra mayúscula(A,B...) y sus elementos con la misma letra en minúscula (a,b...), con un doble subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece.

Igualdad

Dos matrices, A y B, son iguales cuando contienen los mismos elementos, dispuestos en los mismos lugares. A = B si aij = bij para todo i y j. Lógicamente, para que dos matrices sean iguales, es necesario que tengan la misma dimensión.

Adición de matrices

Dadas dos matrices, A y B, de la misma dimensión, m × n, la matriz suma, A + B, es la que obtenemos sumando los elementos que en cada una de ellas ocupan la misma posición:

Multiplicación de una matriz por un número real

Dados una matriz A de dimensión m × n, y un número real k, la matriz producto por un número real, kA, es la que obtenemos al multiplicar cada elemento de la matriz por ese número:

Producto de matrices

Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

Dadas dos matrices A= (aiⱼ) de orden m x p y B= (bij) de orden p x n, la matriz producto AB es otra matriz de orden m x n en la que el elemento situado en la fila i y en la columna j se obtiene multiplicando la fila i de la matriz A por la columna j de la matriz B de la siguiente manera.
INFORMES

producto de matrices
producto de un numero real por una matriz

suma del cuadrado de una matriz y su inversa parte 1
suma de la inversa de una matriz parte 2

INFORMES
Informe vídeo 1
matriz cuadrada de orden n aplicando el menor complementario y adjuntos.
Informe vídeo 2
determinante de 5x5 por el método del menor complementario y el adjunto

CALCULO DIFERENCIAL

BLOQUE 4

Álgebra y funciones: Cálculo integral

Contenidos

M.5.1.64. Calcular la integral definida de una función escalonada, identificar sus propiedades cuando los límites de integración son iguales y cuando se intercambian los límites de integración.

M.5.1.65. Aplicar la interpretación geométrica de la integral de una función escalonada no negativa como la superficie limitada por la curva y el eje x.

M.5.1.67. Reconocer la derivación y la integración como procesos inversos

M.5.1.69. Resolver y plantear aplicaciones geométricas (cálculo de áreas) y físicas (velocidad media, espacio recorrido) de la integral definida, e interpretar y juzgar la validez de las soluciones obtenidas.

INTEGRAL DEFINIDA
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

Concepto.- La integral definida nos sirve para calcular el área bajo una curva. La integral definida de la función f(x) en el intervalo [a, b] representa el área de la región del plano comprendido entre la gráfica de la función f(x), el eje de abscisas y = 0 y las rectas x = a y x = b
La integral definida se representa por.

∫ es el signo de integración.
a límite inferior de la integración.
b límite superior de la integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

El Teorema Fundamental del Cálculo Integral nos muestra que F(x) es precisamente el área limitada por la gráfica de una función continua f(x).

La integral definida cumple las siguientes propiedades:

Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.
Cuando la función f(x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.
La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.
La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).
Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.
Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):

PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN
El concepto de primitiva es el recíproco al de derivada. Una función F(x) se dice que es primitiva de una función f(x) si F'(x)= f(x)
Ejemplo

INTEGRAL INDEFINIDA
Una función f(x) puede tener infinitas primitivas que se diferencian unas de otras en una constante. El conjunto de todas las primitivas de f(x) se llama integral indefinida de f(x)
se representa por

Presentamos algunos teoremas de integrales indefinidas en la que a, e, k, y C son constantes; u(x) es una función y u'(x) su derivada.

Ejemplos de integración aplicando las propiedades

EJERCICIOS DE PRUEBA
cualquier inconveniente acercarse al profesor en horas antes de clase; todos estos ejercicios pueden resolverse aplicando los teoremas o propiedades arriba indicadas.

INFORMES
ver vídeo 1
integrar completando la derivada
ver vídeo 2 ejemplo 2
ver vídeo 3 ejemplo 3
ver vídeo 4 ejemplo 4

DEBER 2. INTEGRAL DEFINIDA

INFORMES

ejercicio 6 integrar la expresión
ejercicio 8 integrar la expresión racional

DEBER 3

Métodos generales de integración

integración por partes
Sean u(x) y v(x) dos funciones derivables.

El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

Ejemplo 1 de integración por partes
Ejemplo 2 de integración por partes
Integración por descomposición
Este método consiste en expresar la función integrando como suma de otras funciones que sabemos integrar de manera inmediata, y aplicarles las propiedades de la integral indefinida.
Ejemplo 1 de integración por descomposición
Ejemplo 2 de integración por descomposición
DEBER 1
Escriba cada ecuación en forma logarítmica
(10 ejercicios impares)

Escriba cada ecuación en forma exponencial y evalúe cada una de las expresiones (5 pares de cada grupo)

BLOQUE 3

Cálculo diferencial
Contenidos:

M.5.1.33. Calcular de manera intuitiva la derivada de funciones cuadráticas, a partir del cociente incremental.

M.5.1.34. Interpretar de manera geométrica (pendiente de la secante) y física el cociente incremental (velocidad media) de funciones cuadráticas, con apoyo de las TIC.

HISTORIA

las formulaciones de Newton y Leibnitz estuvieron llenas de oscuridades que no fueron salvadas hasta la publicación en 1823 de las lecciones de Cauchy sobre el calculo infinitesimal. Actualmente las aplicaciones de las derivadas es múltiple, por ejemplo para conseguir el máximo rendimiento de los motores de explosión deben efectuarse laboriosos cálculos de derivadas; para calcular las fuerzas que actúan sobre las partículas; la velocidad de las reacciones químicas depende de la derivada de las concentraciones con respecto al tiempo, para determinar la velocidad instantánea en un tiempo t.

La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de

f

, se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto

x

. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como monotonía de una función (si es creciente o decreciente) y la concavidad o convexidad.

Derivada de una función en un punto.
Definición:
La derivada de la función 𝑓 en el punto de la abscisa x = a es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (a, f(a)).

Que la pendiente de la recta tangente es igual al, límite de la función evaluada en X₂ menos la función evaluada en X₁, todo dividido entre el incremento de X, cuando dicho incremento tiende a cero.

Finalmente expresando en función de una sola variable, X₂ = X₁ + ∆x, tenemos,