ecuaciones exponencial y logarítmicas

Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente.

Para resolver una ecuación exponencial debemos tener en cuenta que:

a > 0, a ≠ 1

(a debe ser mayor que cero y distinto de 1)

y que si 

(Si la base a es igual a la base a, entonces los exponentes serán iguales entre sí)

También debemos recordar las propiedades de las potencias, las que se describen a continuación:

a ⁰ = 1

Toda potencia elevada a cero es igual a 1

a ¹ = a

Toda potencia elevada a 1 es igual a la base

Toda potencia con exponente negativo es igual al inverso de su base, ahora con exponente positivo en el denominador.

 

Toda potencia elevada a un exponente fraccionario es igual a una raíz de la base elevada al numerador de la fracción, y el índice de la raíz corresponde al denominador de la fracción. 

a ^m • a ⁿ = a ^m+n

Para multiplicar dos potencias de igual base y distintos exponentes, se conserva la base y esta se eleva a la suma de los exponentes.

a ^m : a ⁿ = a ^{m − n} 

Para dividir dos potencias de igual base y distintos exponentes, se conserva la base y esta se eleva a la resta de dichos exponentes.

(a ^{m) n} = a ^{m · n}

Para elevar una potencia a potencia, se conserva la base y se multiplican los exponentes.

a ⁿ • b ⁿ = (a · b) ⁿ

Para multiplicar potencias de distinta base, pero con igual exponente, se multiplican las bases y se conserva el exponente único o común.

a ⁿ : b ⁿ = (a : b) ⁿ

Para dividir potencias de distinta base, pero con igual exponente, se dividen las bases y se conserva el exponente único o común.

Nota importante

Debemos tener presente que no existe ninguna fórmula general que indique cómo resolver cualquier ecuación exponencial. Sólo la práctica ayuda a decidir, en cada caso, qué camino tomar.

De todos modos, para resolver una ecuación exponencial hay que realizar algunas acciones previas que son imprescindibles:

Primero:

Si los dos miembros de la igualdad tienen distinta base, debemos reducirlos a la misma base.

Ejemplo 1: 

Una vez que tenemos la misma base en los dos miembros, igualamos los exponentes y resolvemos la ecuación.

 

Y aquí es donde empiezan las dificultades, ya que si no dominamos las propiedades de las potencias se hará muy difícil resolver este tipo de ecuaciones. 

Cuando ninguno de los dos lados de la ecuación exponencial puede escribirse como una potencia de la misma base, con frecuencia empezamos tomando logaritmos de ambos lados de la ecuación como en el ejemplo 2.

    

 ® log10 = 1

Ejemplo 3

Resuelva la ecuación 5ⁿ = 28
Solución Tome logaritmos de ambos lados de la ecuación y despeje n

log 5ⁿ  = log 28

n log 5 = log 28

n = log 28 / log 5

          n = 1,4472 / 0,6990 » 2,0704

TAREA1

Resuelva los 10 primeros ejercicios, acceda a la pagina ecuaciones exponenciales 

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que aparece la incógnita o incógnitas dentro de un logaritmo. Por ejemplo: log(x+6) = 1 + log(x-3)

"Puede ser conveniente repasar el tema: Función logarítmica, antes de continuar"

El logaritmo que suele aparecer en las ecuaciones logarítmicas es el decimal o el neperiano y, normalmente, siempre la misma base en toda la ecuación.

Para resolver ecuaciones logarítmicas vamos a tener en cuenta:las propiedades de los logaritmos

Además tenemos que comprobar las soluciones para verificar que no tenemos logaritmos nulos o negativos.

Algunas ecuaciones logarítmicas suelen resolverse expresándolas en forma exponencial. Pero recuerde; es necesario comprobar las ecuaciones logarítmicas para ver si tienen soluciones extrañas. Si al verificar una solución se obtiene el logaritmo de un numero no positivo, significa que esta es extraña.

Ejemplo 4

TAREA 2

Resuelve las ecuaciones logarítmicas ecuaciones logarítmicas